שיעור 79: תרגיל אליפסה- 2012 חורף

פרק 7: אליפסה

1🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מרחק קודקוד ממוקד וישר מאונך

2🟢 סעיף ב: היקף המשולש EF₁F₂ – סכום המרחקים מהמוקדים r₁+r₂=2a

🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מרחק קודקוד ממוקד וישר מאונך

האליפסה x²a²+y²b²=1 חותכת את ציר ה־x בנקודות A ו־A' , ואת ציר ה־y היא חותכת בנקודות B ו־B' , כמתואר בציור.
א. נתון כי הישר y=−54x מאונך לישר A'B , והמרחק בין הנקודה B לאחד המוקדים של האליפסה הוא 5. מצא את משוואת האליפסה.

המרחק בין B למוקד: B(0,b)=(x₁,y₁) , F₁(c,0)=(x₂,y₂)

d²=(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²

25=(c−0)²+(0−b)²

25=c²+b²

וגם c²=a²−b² (זוכרים בעל פה – לא בדף הנוסחאות). מציבים:

25=a²−b²+b²

25=a² ← a=5 (רק החיובי)

הישרים מאונכים – השיפועים הופכיים ונגדיים:

🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מרחק קודקוד ממוקד וישר מאונך · המשך

הישרים מאונכים – השיפועים הופכיים ונגדיים:

m=−54 ← m_A'B=45

A'(−a,0)=(x₂,y₂) , B(0,b)=(x₁,y₁)

m=y₂−y₁x₂−x₁

45=0−b−a−0

45=ba

🔵 סעיף א: מציאת משוואת האליפסה – מרחק קודקוד ממוקד וישר מאונך · המשך

45=ba

כפל בהצלבה:

4a=5b

20=5b ← b=4

מציבים a²=25 , b²=16 :

✅ x²25+y²16=1

🟢 סעיף ב: היקף המשולש EF₁F₂ – סכום המרחקים מהמוקדים r₁+r₂=2a

ב. F₁ ו־F₂ הם המוקדים של האליפסה. E היא נקודה על האליפסה. מצא את ההיקף של המשולש EF₁F₂.

c²=a²−b²

c²=5²−4²

c²=9 ← c=3

המוקדים: (3,0) , (−3,0)

סכום המרחקים של נקודה על האליפסה מהמוקדים:

r₁+r₂=2a=10

F₁F₂=6 (המרחק בין −3 ל־3)

ההיקף:

10+6=16

✅ 16

📌 לזכור

💡 באליפסה c²=a²−b² (בעל פה!), ולכל נקודה על האליפסה r₁+r₂=2a. ישרים מאונכים – שיפועים הופכיים ונגדיים: m₁·m₂=−1.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא